Definisi Matematika Sebagai Ilmu Deduktif

Menurut James dan James (1976) dalam Kamus Matematikanya mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan besaran dan konsep-konsep yang saling berhubungan satu sama lainnya dengan jumlah yang banyaknya terbagi kedalam tiga bidang yaitu Aljabar, Analisis dan Geometri.

Sedangkan Jhonson dan Rising (1972) dalam bukunya mengatakan bahwa matematika adalah pola pikir (berpikir), pola mengorganisasikan pembuktian yang logika; matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat, representasinya dengan simbol dan dapat lebih berupa bahasa simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi.

Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasikan sifat-sifat atau teori-teori itu dibuat secara deduktif berdasarkan kepada unsur-unsur yang didefinisikan atau tidak didefinisikan, aksioma-aksioma, sifat-sifat, teori-teori yang telah dibuktikan kebenarannya.

Metode Pendekatan Matematika

Dibandingkan dengan ilmu pengetahuan lainnya, pola pendekatan keilmuan yang digunakan matematika dalam mencari kebenarannya sangat berbeda, baik ditinjau dari segi isi maupun dari segi metode. Metode mencari kebenaran yang dipakai oleh matematika adalah metode deduktif, sedangkan ilmu pengetahuan lainnya yaitu induktif atau eksperimen.

Sementara dalam matematika mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif yang kemudian generalisasi yang benar untuk semua keadaan tersebut harus bisa dibuktikan secara generalisasi, sifat, teori atau dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.

Metode Deduktif

Seperti telah lumrah kita ketahui dalam kegiatan belajar-mengajar dua metode deduktif dan induktif satu sama lain memiliki fungsi dan pendekatan yang berbeda walaupun pada dasarnya masing-masing mempunyai muara yang sama yaitu mencari kebenaran sesuai dengan disiplin ilmu yang hendak memakainya.

Sebagai contoh kita tinjau salah satu disiplin ilmu yang masih tergolong keluarga rumpun eksakta yaitu Fisika dan Biologi. Di lapangan atau laboratorium beberapa guru fisika dalam melakukan percobaanya menggunakan suatu aturan atau suatu prinsip sebagai berikut :

“Bila dengan percobaan seseorang telah berhasil menunjukan kepada kita, bahwa ketika kita mengambil sebatang logam kemudian dipanaskan ternyata memuai, kemudian sebatang logam lainnya dipanaskan ternyata memuai lagi dan seterusnya maka dengan mengambil sample atau contoh jenis-jenis logam lainnya ternyata selalu memuai bila dipanaskan, maka kita berkesimpulan atau dapat membuat generalisasi bahwa setiap logam yang dipanaskan itu memuai”.

Generalisasi seperti ini yang kita susun secara induktif tersebut dalam ilmu fisika memang dapat kita benarkan, namun dalam matematika hal demikian belum dapat dianggap sebagai suatu generalisasi. Apa sebab ? Karena dalam matematika contoh seperti diatas baru bisa dianggap sebagai generalisasi jika nilai kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.

Yang uniknya bahwa dalam beberapa generalisasi matematika yang telah dibuat dengan cara induktif dari beberapa contoh hanyalah menunjukan kebenaran yang bersifat kemungkinan, bukan kebenaran matematika. Karena kita harus teliti, sebab sebuah saja contoh yang bertentangan berarti telah menjadi bukti akan kegagalan suatu generalisasi tersebut.

Cara Pembukitan Dalil

Salah satu hal penting yang dianggap sangat berkaitan erat dengan generalisasi deduktif adalah cara-cara pembuktian suatu dalil/aturan/teorama merupakan generalisasi yang dapat dibuktikan kebenarannya secara deduktif.

Untuk keperluan ini terdapat beberapa cara pembuktian yang umumnya sudah jelas terlihat proses deduktifnya seperti: cara modus ponen, implikasi transitif, kontra positif, modus tolens, teori deduksi, kontra contoh, bukti tidak langsung dan induksi matematika. (Prof. E.T. Ruseffendi, S.Pd.M.Sc.,Ph.D; 1993)

Usaha pembuktian secara induksi matematika sebanarnya adalah bagian dari cara pembuktian metode deduktif bukan metode induktif. Selanjutnya perhatikan contoh Ketidaksamaan : 2ᶯ  <  2n  +  2 untuk n anggota bilangan cacah. Untuk pembuktiannya ketidaksamaan ini kita buat tabel pembuktian sebagai berikut :

Dari tabel diatas kita bisa membuktikan kebenaran ketidaksamaan itu secara induktif untuk n = 0, n = 1 dan n = 2, akhirnya ditemukan generalisasi yang keliru yang mengatakan ketidaksamaan itu benar untuk n bilangan cacah. Dapat kita periksa untuk n = 3,  n = 4, n = 5, ……. Ternyata ketidaksamaan itu salah.

Ini pembuktian kepada kita bahwa penarikan kesimpulan atau generalisasi dalam matematika harus hati-hati dan tidaklah cukup hanya memberikan contoh-contoh saja.

Kesimpulan

Dari uraian diatas akhirnya dapatlah kita simpulkan bahwa matematika merupakan ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan kepada pengamatan atau observasi (induktif) tetapi generalisasi itu harus didasarkan kepada pembuktian secara deduktif.

Meski diakui bahwa para matematikawan ulung yang menemukan dalil-dalil dan rumus matematika itu secara induktif namun perlu digaris bawahi bahwa begitu suatu pola, dalil, rumus atau teorama itu ditemukan maka generalisasi itu harus dapat dibuktikan kebenarannya secara umum (deduktif)**